Relação de divisibilidade

São muitas as formas de se exprimir uma idéia matemática usando-se palavras. Observe, por exemplo, que as afirmações: “a é múltiplo de b”,                                                                                                                                                                                                 “a é divisível por b” e                                                                                                                                                                                                    “b é divisor de a”, têm o mesmo significado para qualquer inteiros a e b. Na linguagem matemática, a relação entre os números a e b transmitida por essas afirmações é simbolizada por uma barra vertical.

A relação  b ∣ a  exprime que “b é divisor de a”, mas costuma ser lida como: b divide a, e a negação dessa relação é simbolizada por  b ∤ a  lida como: b não divide a. Exemplos:

2 ∣ 40            7 ∣ 28            2 ∤ 7              7 ∤ 40

A barra vertical também costuma ser usadas para indicar o conectivo lógico “tal que”, que não deve ser confundido com a relação “ser divisor de”. O contexto em que o símbolo é aplicado deve ser observado.

Alem disso, quando escrevemos uma relação de divisibilidade devemos tomar muito cuidado com a inclinação da barra para que uma expressão como  7 ∣ 2 8   “sete divide vinte e oito”, por exemplo, não seja confundida com a expressão  7 / 28   que indica o número racional 0,25.

 

Critérios de divisibilidade

Considere o número seis mil, setecentos e noventa e cinco.

Ele possui seis milhares, sete centenas, nove dezenas e cinco unidades.                                                                                    6 × 1000     +    7 × 100       +    9   ×   10       +     5  ×   1         = 6.795

Como lemos os números da esquerda para a direta, podemos dizer que ele termina no algarismo de suas unidades. Por isso, dizemos que o número 6.795 termina por 5.

Há três critérios de divisibilidade que dependem apenas do último algarismo de um número inteiro:

 

     Um número inteiro é divisível:
                                             por  10 quando termina por zero,
                                          por 5 quando termina por zero ou cinco, e
                                        por 2 quando termina por um algarismo par: 0, 2, 4, 6 ou 8.

 

Teorema: Dados dois números inteiros a e b temos que se um número inteiro n que é divisor tanto de a quanto de b, então este número n também é divisor da soma a+b.

n∣a   e   n∣b        =>      n∣(a+b)

     Assim, como todo número inteiro com mais de dois algarismos é a soma de um múltiplo de 100 com o número formado pelos seus dois últimos algarismos (exemplo: 2532 = 2500+32), pode-se verificar se este número é múltiplo de 4 observando-se apenas os seus dois últimos algarismos, pois 4 é divisor de qualquer múltiplo de 100.

Além disso, como todo número inteiro com mais de três algarismos é a soma de um múltiplo de 1000 com o número formado pelos seus três últimos algarismos (exemplo: 25328 = 25000+328), pode-se verificar se este número é múltiplo de 8 observando-se apenas os seus dois últimos algarismos, pois 8 é divisor de qualquer múltiplo de 1000.

Seguindo este padrão, podemos enunciar critérios de divisibilidade que dependem apenas dos últimos algarismo de um número inteiro:

     Um número inteiro é divisível:                                                                                                                                              por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4,                                                  por 8 quando seus três últimos algarismos formam um múltiplo de 8,                                                  por 16 quando seus quatro últimos algarismos formam um múltiplo de 16,                                          por 32 quando seus cinco últimos algarismos formam um múltiplo de 16,
                                                                                                                …                                                                                                                                                                                                                                                                                                             por 2n quando seus n últimos algarismos formam um múltiplo de 2n .

 

Para conhecer mais alguns critérios de divisibilidade leis o resumo: Critérios de divisibilidade.

Veja também:

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Números Primos

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Decomposição em fatores primos

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