Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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Programação da semana 3

Terça 26/3: Geometria – Introdução à teoria das proporções.

Depois de tirar suas dúvidas das listas de ângulos no plano e de arcos de circunferência, pretendo invadir o estudo da teoria das proporções geométricas formada pelos seguintes teoremas:

I- Teorema linear de Tales

II- Teoremas da bissetriz interna e externa de um triângulo

III- Teoremas da base média do triângulo e do trapézio

IV- Teorema do baricentro de um triângulo

V- Teorema da potência de um ponto em relação à uma circunferência

VI- Teorema da razão de semelhança

VII- Relações trigonométricas nos triângulos retângulos

VIII- Relações métricas nos triângulos retângulos

IX- Teorema dos senos

X- Teorema dos cossenos

 

Quinta 28/3: Álgebra – Logaritmos

Esta aula será dedicada à resolução de exercícios sobre os logaritmos e os demais operadores aritméticos. Façam as listas e levem suas dúvidas que podem ser de questões fora da lista mas que envolvam o tema.

Operadores 1

Operadores 2

Depois do intervalo, vamos nos dedicar às técnicas de resolução de equações exponenciais e logarítmicas.

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Pá, pum!

Muitas as equações podem ser resolvidas sem que se escrevam linhas e mais linhas de álgebra como pode-se observar no seguinte exemplo:

2(x + 1) = 10

2x + 2 = 10

2x = 10 – 2

2x = 8

x = 8/2

x = 4

Para evitar isso, deve-se primeiro avaliar a quantidade de soluções da equação.

O teorema fundamental da álgebra garante não haver equação polinomial com um número de soluções maior que grau da equação. Por exemplo, nenhuma equação de terceiro grau admite mais do que três soluções.

O número de soluções de equações de equação não polinomiais, como as trigonométricas ou logarítmicas, por exemplo, depende de outros argumentos como o intervalo de variação da incógnita bem como das caraterísticas  da funções que compõe a equação, como funções pares ou funções injetoras, por exemplo.

Uma vez conhecida a quantidade de soluções de uma equação, resolvê-la é como responder uma pergunta:

Se a equação tem incógnita x, enta pergunta sempre será:

“Qual ou quais são os valores de x que fecham a sentença tornando-a verdadeira?”

A equação 2(x + 1) = 10 traduzida para a língua portuguesa torna-se a seguinte pergunta:

Qual é o número cujo dobro do sucessor é igual a 10?

Essa pergunta pode ser respondida aplicando-se a seguinte lógica: o número 10 é o dobro do número 5 que, por sua vez, é sucessor do número 4. Então, como  a pergunta tem resposta única, pois a equação é de primeiro grau, pode-se concluir que a resposta é 4.

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Ângulos no plano

Ângulos no plano

 

Confira um resumo tórico contendo as definições, classificações, propriedades e os teoremas da geometria euclidiana plana referentes ao estudo dos ângulos e polígonos planos. …………………………………………………………………………………………………………………………………

Você conhece a definição de ângulo, então me diga quantos ângulos você vê desenhados aqui?

Se você pensou em responder dois, então precisamos conversar, pois essa figura apresenta apenas um ângulo.

Acontece que todo ângulo pode ser medido usando-se dois arcos distintos de uma mesma circunferência, desde que o centro dessa circunferência seja o vértice do ângulo. Nesse caso, um dos arcos terá a medida da região convexa do ângulo o e o outro da região côncava.

Um único ângulo geométrico admite duas medidas distintas. Afinal, o nome da figura desenhada a seguir é TRIÂNGULO por apresentar apenas três ângulos geométricos.

Um erro recorrente entre os estudantes que estão se preparando para o vestibular é confundir o ângulo com o arco que estabelece sua medida. Tratam-se de figuras geométricas bastante diferentes, mas o questionável hábito de marcar cada ângulo da figura fazendo uma “curvinha” em sua região convexa, pode levar a uma grande confusão entre as características dos ângulos e dos arcos.

Baixe o resumo teórico ângulos no plano para conhecer, verificar ou relembrar as seguintes definições: ………..Ângulo…………………………..Ângulos adjacentes……………………….Ângulos alternos………….. ………..Ângulo raso…………………….Ângulos congruentes…………………….Ângulos internos………….. ………..Ângulo geométrico…………….Ângulos complementares………………..Ângulos externos…………. ………..Ângulo agudo…………………..Ângulos suplementares…………………Ângulos centrais………….. ………..Ângulo reto……………………..Ângulos correspondentes………………Ângulos inscritos………….. ………..Ângulo obtuso…………………Ângulos colaterais……………………….Arco capaz………………….

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Programação da semana 2

Terça 19/3: Geometria – Ângulos no plano

Pré requisito: Ler as teorias da geometria euclidiana e dos ângulos no plano.

Baixe aqui a lista com os exercícios que serão resolvidos durante a aula.

 

Quarta 20/3: Plantão de dúvidas

Compareça e leve suas dúvidas de matemática, tanto de álgebra quanto de geometria, das minhas listas ou de qualquer outro material que você esteja estudando no seu cursinho.

 

Quinta 21/3: Álgebra – Logaritmos

Pré requisito: Ler a teoria dos operadores aritméticos.

Baixe aqui a lista com os exercícios que serão resolvidos durante a aula.

 

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Programação da semana 1

O curso de linguagem matemática é destinado aos estudantes candidatos às carreiras de Medicina, Engenharia, Administração e Direito entre outras. As aulas são focadas principalmente nos assuntos cobrados pelas provas da Fuvest, Unesp, Unifesp, Unicamp e GV. A palestra inicial aconteceu na semana passada e o tema abordado foi a lógica nos vestibulares.

As aulas programadas para a próxima semana são:

 

Terça feira 12/3

 Introdução à geometria euclidiana

Dentre as diversas manifestações do pensamento geométrico, as mais cobradas pelos vestibulares são a euclidiana e a cartesiana.

Você sabia que a geometria plana formulada por Euclides é toda fundamentada a partir de cinco regras básicas conhecidas como os postulados de Euclides. Estudar geometria sem conhecê-los é quase como jogar xadrez sem dominar o movimento do cavalo. Fica difícil ganhar uma partida. Leia o texto Geometria euclidiana  antes de assistir a esta aula.

Quarta feira 13/3

Repetição da aula de Aritmética básica

Conjuntos numéricos, interpretação dos termos das operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão.  O teorema fundamental da aritmética, conceitos de multiplicidade, mmc e mdc. Todos estão convidados.

 

Quinta feira 14/3

 Operadores aritméticos

Uma visão geral das sete operações aritméticas no universo dos números reais, desde a adição até a extração de logaritmos.

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A lógica nos vestibulares

A ciência matemática pode ser considerada um ramo da lógica que, por sua vez, é um ramo do conhecimento filosófico.

A lógica matemática é uma ciência exata dotada de uma álgebra simbólica peculiar que permite análises precisas dos problemas enunciados em linguagem escrita.

Uma interpretação equivocada dos conectivos “e”“ou”“se … então” “somente se”, pode nos levar a conclusões falsas que fatalmente figuram entre as alternativas incorretas das questões de múltipla escolha. Por outro lado, também é possível aplicar a lógica matemática para determinar a alternativa correta por um processo de eliminação das demais alternativas.

Esta semana serão realizadas duas palestras gratuitas sobre a incidência da lógica matemática nos vestibulares:

11/2 (terça)                      13/3 (quinta)

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Linguagem matemática

Linguagem matemática

 

 

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Decomposição em fatores primos

 

O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número inteiro, não nulo, pode ser decomposto em fatores primos de uma única maneira.

Muitos subestimam a importância desse teorema, pois costuma ser estudado apenas no ensino fundamental (até a antiga oitava série, atualmente chamada de nono ano).

Nenhum teorema é chamado de fundamental à toa e as implicações desse específico teorema fundamental são bastante extensas.

A decomposição em fatores primos permite que se descubra quantos e quias são os divisores de um número inteiro, facilita o cálculo do mmc e do mdc, e também pode ser usada na simplificação de radicais e racionalização de denominadores. Ufa! tá bom pra começar.

Ser capaz de reconhecer os número primos menores do que 100 e decompor todos o os outros rapidamente é habilidade imprescindível para o bom desempenho nos vestibulares. Para começar, saiba que:

o número 1 não é primo.

Muitos já devem ter ouvido dizer que número primo é aquele divisível apenas por um e por ele mesmo. Mas, na verdade, número primo é aquele divisível apenas por um e por ele mesmo, desde que o número um não seja ele mesmo.

Parece estranho, mas o termo “primo”, quando usado como adjetivo de um numeral, serve para classificar certos agrupamentos de quantidades plurais:

Apesar de o número um poder ser usado como representante de quantidades plurais como em “uma centena” ou em “uma dúzia”, o número “um” sozinho não indica uma quantidade plural, por isso não pode ser classificado como número primo.

Você já deve ter decomposto alguns números grandes em fatores primos escrevendo a decomposição num canto da folha e, durante essa processo, feito e respondido mentalmente a perguntas como: “dá por 2?”, “dá por 3?”, “dá por 5?” e assim por diante, não é?

Não devemos nos perguntar se “dá por 4?” ou se “da por 6?” pois 4 e 6 não são números primos e essa decomposição é para ser feita em fatores primos.

Então, se o número 1 fosse primo, essa decomposição não terminaria, pois o processo de verificações seria infinito: “Dá por 1?”, sim.  “Dá por 1?”, sim. “Dá por 1?”, sim…

 

Para entender melhor o significado do Teorema Fundamental da Aritmética, veja a lista com a decomposição dos números inteiros de 2 a 100, clicando: LEIA MAIS

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Resolução da prova de geometria e funções da FAU-USP 2013

Resolução da prova de geometria e funções da FAU-USP 2013

 

Esta última versão da prova de G&F da FAU-USP foi mais “pé no chão”. Ao invés das tradicionais quatro questões, neste ano a prova teve apenas duas questões e os assuntos abordados foram ambos referentes ao estudo da geometria euclidiana plana . A geometria espacial e a geometria analítica, que costumavam incorporar os temas da prova foram deixadas de lado nessa última avaliação.

 

 

Confira o caderno de questões e minhas resoluções comentadas da prova de habilidades específicas (G&F) da FAU-USP 2013.

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Caderno de questões

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Resoluções

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