Programação da semanas 9 e 10

Terças 7 e 14/5: Geometria Analítica.

Durante o ensino médio, o estudo dos vetores cabe tradicionalmente à Física.

Mas os vetores são entidades geométricas. A representação analítica dos vetores será uma ferramenta extra para elevar sua competitividade no vestibular. Não percam a primeira aula.

Clique aqui para obter a ficha de memorização.

Ferramentas da geometria analítica

Quartas 8 e 15/5: Análise combinatória.

Essas aula serão dedicadas à identificação dos princípios da contagem.

Princípios aditivos.

Princípios multiplicativos.

Se você ainda confunde arranjo e combinação não perca essas aulas.

 

Quintas 9 e 16/5: Números complexos – Forma Polar.

Efetuamos adições e subtrações de números complexos usando sua forma algébrica:

Z = Re(Z) + Im(z) . i

Efetuamos multiplicações de números complexos usando tanto sua forma algébrica

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) . i

quanto sua forma polar:

(r, α) . (s, β) = (r . s, α + β)

Já a divisão e a potenciação de números complexos fica bem mais simples na forma polar:

(r, α) / (s, β) = (r / s, α – β)

 

(r, α)n = ( r, n.α)

Dominar a forma polar dos números complexos pode fazer a diferença no vestibular.

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O aspecto orgânico da construção geométrica.

O aspecto orgânico da construção geométrica.

 

Por volta do século III a.C. Euclides, de Alexandria escreveu uma obra chamada “os Elementos” composta por 13 livros dos quais o primeiro tratava da geometria construtiva.

Nesta obra, Euclides estabeleceu algumas regras para construção geométrica com régua e compasso, conhecidas como postulados de Euclides. As três primeiras regras são:

– Traçar uma reta partindo de um ponto determinado até outro ponto determinado qualquer.
– Prolongar um segmento de reta indefinidamente em uma mesma direção.
– Descrever uma circunferência com centro em um ponto determinado e que passe por qualquer outro ponto determinado.

Há uma infinidade de figuras geométricas que podem ser construídas obedecendo-se somente  estas três regras e, mesmo havendo outros postulados na geometria de Euclides, a ciência das construções geométricas considera apenas as figuras que podem ser obtidas desses três.

Os postulados de Euclides não permitem que sejam traçadas retas arbitrárias ou arcos de circunferência usando-se o compasso com aberturas arbitrárias, como é muito comum na prática das construções geométricas. Mas a obediência aos postulados pode diminuir consideravelmente o número de passagens de uma construção além de manter o aspecto orgânico da construção.

Veja como obter os vértices de um pentágono regular partindo-se de dois pontos determinados A e B, em apenas dez passos e obedecendo os três primeiros postulados:

pentágono orgânico

 

Veja o roteiro dessa construção:

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Programação da semana 8

Terça 30/4: Geometria – Revisão e exercícios.

Nesta aula resolveremos alguns dos exercícios da lista referente à segunda lista da teoria das proporções geométricas.

Teoria das proporções 2

Além disso, faremos algumas questões de geometria plana que exigem a aplicação de identidades trigonométricas.

Identidades trigonométricas

 

Quinta 2/5: Números complexos.

Esta será a primeira aula do curso de números complexos e polinômios que terá a duração de um mês. As aulas serão ministradas em todas as quintas feiras do mês de maio e serão abertas para estudantes que têm bom desempenho em questões de álgebra mas ainda não compreenderam o significado dos números não reais.

 Complexos

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Programação da semana 7

Terça 23/4: Geometria – Teoria das proporções geométricas.

Nessa aula concluiremos o estudo das áreas das superfícies planas.

 

Quinta 25/4: Identidades algébricas.

Nesta aula vamos continuar o estudo das identidades matemáticas com enfase nas identidades do terceiro grau.

Sentenças matemáticas 3 – (Tercerio grau)

Se você ainda não fez essa atividade, não perca tempo. Deixe seus estudos em dia.

 

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Novos cursos

Muitos são os estudantes que dominam a linguagem matemática a ponto de resolver equações complicadas como as logarítmicas e as modulares, mas quando enfrentam problemas no universo dos números complexos a “coisa complica”.

Outros, capazes de “matar” qualquer questão da geometria plana e espacial, atrapalham-se quando o assunto é a geometria analítica.

Conheço muitos estudantes bons em álgebra e/ou geometria, mas poucos que ficam à vontade quando o assunto é a combinatória.

Cada um desses delicados temas da matemática tem grande incidência nos vestibulares, e como um pontinho a mais na primeira fase é sempre bem-vindo, estou abrindo o curso de linguagem matemática para uma revisão desses três assuntos com um mês de duração.

Cada assunto será estudado em um dia diferente das semanas do mês de Maio.

Terças:

Geometria analítica

7/5          15/5          21/5          28/5

Quartas:

Análise combinatória e probabilidades

8/5          16/5          22/5          29/5

Quintas:

Polinômios e números complexos

2/5          9/5          16/5          23/5

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Programação da semana 6

Terça 16/4: Geometria – Teoria das proporções geométricas.

Nessa aula estudaremos o teorema dos cossenos e as expressões para a área de um triângulo:

Área do triângulo

Quarta 17/4: Plantão de dúvidas.

Compareça e leve suas dúvidas de matemática, tanto de álgebra quanto de geometria, das minhas listas ou de qualquer outro material que você esteja estudando no seu cursinho.

 

Quarta 18/4: Identidades algébricas.

Nesta aula vamos continuar o estudo das identidades matemáticas.

Todos já devem ter efetuado as seguintes atividades:

Sentenças matemáticas 1 – (Equações x identidades)

Sentenças matemáticas 2 – (Produtos Notáveis)

Sentenças matemáticas 3 – (Tercerio grau)

Então, podem testar os conhecimentos adquiridos com a seguinte lista:

Identidades

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Seis explicações fantasiosas sobre a origem dos algarismos

Há muito tempo que ouço histórias sobre a origem dos algarismos hindu-arábicos. Histórias nas quais os formatos dos números estão associados às quantidades que eles pretendem representar.

Algumas até fazem sentido, mas nenhuma dessas histórias tem fundamentação científica baseada em documentos históricos ou estudos paleográficos. Essas explicações levam em conta apenas as formas gráficas atuais dos algarismos desprezando a longa história da evolução das formas gráficas que hoje usamos para representar as quantidades de 1 a 9.

 

Explicação 1

Os formatos dos algarismos apresentam tantos ângulos quanto o numeral deve indicar:

Explicação fantasiosa 1

Explicação 2

Os formatos dos algarismos apresentam tantos segmentos quanto o numeral deve indicar:

Explicação fantasiosa 2

Explicação 3

Que os numerais eram representados por pontos que posteriormente teriam sido ligados dando origem aos nove sinais conhecidos:

Explicação fantasiosa 3

 

Explicação 4

Que os numerais foram inventados por um astrólogo e seus grafismos seriam resultado da partição de uma figura formada por um círculo e dois diâmetros:

Explicação fantasiosa 4

Explicação 5

Mais elaborada que as outras, afirma que as linhas formadoras dos nossos algarismos surgiram de  disposições particulares das pedras usadas para contar. As linhas seriam todas oriundas de uma única figura formada por um retângulo, suas diagonais e as mediatrizes de seus lados. O traçado de cada algarismo era feito de forma que cada pedra ficasse em uma única região angular.

Explicação fantasiosa 5

Explicação 6

Conhecida como “a lenda do anel de Salomão” , diz que os algarismos teriam sido formados a partir da inscrição de um quadrado e suas diagonais que havia em tal anel:

Explicação fantasiosa 6

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Programação da semana 5

Terça 9/4: Geometria – Teoria das proporções geométricas.

Em nossa últimas aulas foram abordados os primeiros 6 teoremas da teoria das proporções geométricas. Nesta terça estudaremos os 4 teoremas restantes:

VII- Relações trigonométricas nos triângulos retângulos

VIII- Relações métricas nos triângulos retângulos

IX- Teorema dos senos

X- Teorema dos cossenos

 

Quarta 10/4: Plantão de dúvidas.

Compareça e leve suas dúvidas de matemática, tanto de álgebra quanto de geometria, das minhas listas ou de qualquer outro material que você esteja estudando no seu cursinho.

 

Quarta 11/4: Identidades algébricas.

Nesta aula vamos estudar como interpretar e aplicar uma identidade matemática na resolução de questões de múltipla escolha.

 

Para isso, recomendo a leitura dos seguintes resumos:

Sentenças matemáticas 1 – (Equações x identidades)

Sentenças matemáticas 2 – (Produtos Notáveis)

Sentenças matemáticas 3 – (Tercerio grau)

Os exercícios contidos nos finais de cada resumo serão resolvidos em sala.

 

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Programação da semana 4

Terça 2/4: Geometria – Teoria das proporções geométricas.

Em nossa última aula foram abordados os primeiros 4 teoremas da lista abaixo. Nesta terça faremos alguns exercícios referentes a estes teoremas e exploraremos as implicações dos teoremas restantes.

I- Teorema linear de Tales

II- Teoremas da bissetriz interna e externa de um triângulo

III- Teoremas da base média do triângulo e do trapézio

IV- Teorema do baricentro de um triângulo

V- Teorema da potência de um ponto em relação à uma circunferência

VI- Teorema da razão de semelhança

VII- Relações trigonométricas nos triângulos retângulos

VIII- Relações métricas nos triângulos retângulos

IX- Teorema dos senos

X- Teorema dos cossenos

 

Quarta 3/4: Reposição da aula de álgebra do curso de matemática básica.

Nesta aula estudaremos as técnicas de resolução de equações de primeiro e segundo grau, bem como as técnicas de resolução dos sistemas de equações.

 

Quarta 4/4: Equações logarítmicas e modulares.

Nesta aula estudaremos as técnicas de resolução de equações que envolvem logaritmos e a transformação modular. Veja algumas delas:

Equações log e módulo

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Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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