Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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