O aspecto orgânico da construção geométrica.

O aspecto orgânico da construção geométrica.

 

Por volta do século III a.C. Euclides, de Alexandria escreveu uma obra chamada “os Elementos” composta por 13 livros dos quais o primeiro tratava da geometria construtiva.

Nesta obra, Euclides estabeleceu algumas regras para construção geométrica com régua e compasso, conhecidas como postulados de Euclides. As três primeiras regras são:

– Traçar uma reta partindo de um ponto determinado até outro ponto determinado qualquer.
– Prolongar um segmento de reta indefinidamente em uma mesma direção.
– Descrever uma circunferência com centro em um ponto determinado e que passe por qualquer outro ponto determinado.

Há uma infinidade de figuras geométricas que podem ser construídas obedecendo-se somente  estas três regras e, mesmo havendo outros postulados na geometria de Euclides, a ciência das construções geométricas considera apenas as figuras que podem ser obtidas desses três.

Os postulados de Euclides não permitem que sejam traçadas retas arbitrárias ou arcos de circunferência usando-se o compasso com aberturas arbitrárias, como é muito comum na prática das construções geométricas. Mas a obediência aos postulados pode diminuir consideravelmente o número de passagens de uma construção além de manter o aspecto orgânico da construção.

Veja como obter os vértices de um pentágono regular partindo-se de dois pontos determinados A e B, em apenas dez passos e obedecendo os três primeiros postulados:

pentágono orgânico

 

Veja o roteiro dessa construção:

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Diagonal = Diâmetro = Hipotenusa

Considere um retângulo ABCD e observe que:

  • os lados AB e CD têm mesma medida (AB = CD)
  • os lados AD e BC têm mesma medida (AD = BC)
  • os ângulos de vértices A, B, C e D são todos retos (90º)

Retângulo

Observe também que as duas diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (AC = BD):

Retângulo e diagonais

Observe agora que essas diagonais dividem-se ao meio, ou seja, que o ponto M onde as diagonais se interceptam é ponto médio das duas diagonais (MA = MB = MC = MD):

Retângulo, diagonais e raio

Observando os quatro segmentos de mesmo comprimento que partem do ponto M, pode-se concluir que se circunferência tem centro M e passa por um dos vértices desse retângulo, então ela também deve passar pelos outros três vértices do retângulo.

Retângulo, diagonais e circunferência

Assim, temos de forma genérica, que:

“Todo retângulo é inscritível em uma circunferência cujo centro é o ponto de encontro das diagonais do retângulo e cujo raio tem a metade do comprimento dessas diagonais”

 

Finalmente, observe que os triângulos retângulos são retângulos cortados ao meio por uma de suas diagonais e, como todo retângulo é inscritível em uma circunferência inteira, temos que todo triângulo retângulo é inscritível em meia circunferência.

Triângulo retângulo e semicircunferência

Espero com isso, esclarecer uma propriedade geométrica que muitas vezes é esquecida pelos estudantes, e que pode ser imprescindível para a resolução de um problema:

“Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência cujo centro é o ponto médio da hipotenusa e cujo raio tem metade da medida dessa hipotenusa”

 

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Ângulos no plano

Ângulos no plano

 

Confira um resumo tórico contendo as definições, classificações, propriedades e os teoremas da geometria euclidiana plana referentes ao estudo dos ângulos e polígonos planos. …………………………………………………………………………………………………………………………………

Você conhece a definição de ângulo, então me diga quantos ângulos você vê desenhados aqui?

Se você pensou em responder dois, então precisamos conversar, pois essa figura apresenta apenas um ângulo.

Acontece que todo ângulo pode ser medido usando-se dois arcos distintos de uma mesma circunferência, desde que o centro dessa circunferência seja o vértice do ângulo. Nesse caso, um dos arcos terá a medida da região convexa do ângulo o e o outro da região côncava.

Um único ângulo geométrico admite duas medidas distintas. Afinal, o nome da figura desenhada a seguir é TRIÂNGULO por apresentar apenas três ângulos geométricos.

Um erro recorrente entre os estudantes que estão se preparando para o vestibular é confundir o ângulo com o arco que estabelece sua medida. Tratam-se de figuras geométricas bastante diferentes, mas o questionável hábito de marcar cada ângulo da figura fazendo uma “curvinha” em sua região convexa, pode levar a uma grande confusão entre as características dos ângulos e dos arcos.

Baixe o resumo teórico ângulos no plano para conhecer, verificar ou relembrar as seguintes definições: ………..Ângulo…………………………..Ângulos adjacentes……………………….Ângulos alternos………….. ………..Ângulo raso…………………….Ângulos congruentes…………………….Ângulos internos………….. ………..Ângulo geométrico…………….Ângulos complementares………………..Ângulos externos…………. ………..Ângulo agudo…………………..Ângulos suplementares…………………Ângulos centrais………….. ………..Ângulo reto……………………..Ângulos correspondentes………………Ângulos inscritos………….. ………..Ângulo obtuso…………………Ângulos colaterais……………………….Arco capaz………………….

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Resolução da prova de geometria e funções da FAU-USP 2013

Resolução da prova de geometria e funções da FAU-USP 2013

 

Esta última versão da prova de G&F da FAU-USP foi mais “pé no chão”. Ao invés das tradicionais quatro questões, neste ano a prova teve apenas duas questões e os assuntos abordados foram ambos referentes ao estudo da geometria euclidiana plana . A geometria espacial e a geometria analítica, que costumavam incorporar os temas da prova foram deixadas de lado nessa última avaliação.

 

 

Confira o caderno de questões e minhas resoluções comentadas da prova de habilidades específicas (G&F) da FAU-USP 2013.

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Caderno de questões

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Resoluções

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Simulados do final do ano – G&F

Simulado A

Simulado B

O método fundamental

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Geometria analítica 3d na FAUUSP

Desde de 2004 que a prova de habilidades específicas da FAUUSP cobra questões de funções e geometria analítica, incluindo questões de geometria analítica espacial.

Baixe aqui a lista completa das questões que já caíram nessa prova:

Geometria analítica 2d e 3d

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